Approximation du nombre e par un algorithme

La notation \(\text{e}\) est due au mathématicien Leonhard Euler. Vers 1748, il a donné la première définition analytique rigoureuse de \(\text{e}\) via la formule suivante, appelée « série des factorielles » dans son ouvrage Introductio in analysin infinitorum (Introduction à l'analyse infinitésimale) :
\(\text e=1+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{1\times2\times3}+\dfrac{1}{1\times2\times3\times4}+\dfrac{1}{1\times2\times3\times4\times5}+…\)

L'objectif de ce problème est de réaliser un algorithme permettant de donner une approximation du nombre \(\text{e}\).

Partie A

Définition
On appelle factorielle d'un entier naturel \(n\) strictement positif, notée \(n!\), le produit suivant :
\(n!=1\times2\times3\times…\times n\). Par convention, on a `0! =1`.
Ainsi, par exemple, \(4!=1\times2\times3\times4=24\) et \(10!=1\times2\times3\times…\times10=3~628~800\).

1. Vérifier que \(4!=1\times2\times3\times4=24\) et \(10!=1\times2\times3\times…\times10=3~628~800\). 
2. Le code suivant en langage Python permet de calculer la factorielle d'un nombre naturel `n`. Le tester pour différentes valeurs de `n`.

Partie B

On introduit maintenant la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par la relation de récurrence suivante \(u_0=1\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{1\times2\times3\times…\times(n+1)}\).
1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Compléter l'algorithme donné ci-dessus afin que ce dernier calcule des approximations de \(\text{e}\).
3. Retrouver, à l'aide de cet algorithme, les valeurs de la question 1. 
4. Prouver que \(\dfrac{98~641}{36~288}\) est une approximation de \(\text{e}\) donnée par l'algorithme.